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La lógica de Peano

Autor: Carlos S. Chinea
Fuente: Casanchi.com (artículos y trabajos sobre Matemáticas, Física y Astronomía)
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El desarrollo de la lógica matemática está estrechamente ligado a la evolución intelectual de la ciencia, de sus avatares, de su historia. La construcción de la lógica matemática moderna, desde la segunda mitad del siglo XIX, es un reflejo de esta evolución. El papel del matemático italiano Giuseppe Peano fué crucial en todo el proceso de paso de una visión "ingenua" de la lógica a una lógica que establecería ya el rigor, mediante reglas de juego, del proceso de la demostración.

Posición del pensamiento lógico hasta Peano

Hasta casi finales del siglo XIX se pensaba que la validez de una demostración, de un razonamiento matemático, consistía principalmente en que "nos convenciera", en que se nos presentase como evidente a nuestra mente y lo aceptáramos como válido. Esta era, por ejemplo, la forma de entender la argumentación del mismo René Descartes (1596-1650).

Se podría citar, como ejemplo de ello, la frase del matemático francés Jean Marie Duhamel (1797-1872): "El razonamiento se hace por el sentimiento que nos produce en la mente la evidencia de la verdad, sin necesidad de norma o regla alguna".

La posición de Giuseppe Peano (1858-1932) se levantó contra esta forma de argumentar, pues, en esencia, defendía que "el valor de una demostración, de un proceso argumentativo, no depende del gusto o sentimientos interiores de nadie, sino de que el argumento tenga una propiedad de validez universalmente comprobable".

La lógica de enunciados y Peano

Hasta el año 1878, en el que comenzó a publicarse una serie de artículos de Hugh Mc Coll (1837-1909) sobre el "Cálculo de enunciados equivalentes", se consideraba que la lógica matemática era, simplemente, la lógica de clases, el álgebra de clases. Fue a partir de entonces cuando se empezó a entender que toda la lógica matemática dependía de la implicación lógica entre enunciados diversos. Que la raíz de toda la lógica matemática es la teoría de enunciados, y no la teoría de clases.

La gran aportación de Peano al respecto fue la idea de que es posible poner todas las argumentaciones de la lógica de enunciados y de la lógica de clases en un lenguaje artificial de signos, conectados mediante implicaciones. En este sentido, afirmaba que "todos los teoremas de la matemática sin implicaciones entre enunciados".

Esta idea de Peano fue inspiradora de la definición que Russell y Whitehead daban en los Principia Mathematica del concepto que tenían de la Matemática: La matemática es la clase de los enunciados de la forma "si A entonces B", estando los enunciados A y B sujetos a ciertas limitaciones.

Para Peano la Lógica Matemática era, realmente, la Lógica de la Matemática, esto es, un instrumento cuyo objetivo era dar el rigor y adecuado valor a las argumentaciones del quehacer de la matemática.

Aportaciones del trabajo de Peano

El deseo de colocar las argumentaciones de la matemática en un lenguaje riguroso, obligó a Peano a desarrollar un cuerpo de signos que sirvieran para la notación de los razonamientos y las definiciones de objetos. Fueron varios los símbolos que comenzó a utilizar y las ideas sobre la simbolización de los razonamientos que aún en nuestros días se utilizan comúnmente.

Un ejemplo importante es la simbolización de una clase por medio de un enunciado que estableciera una cierta propiedad. Sería algo así como "la clase de los objetos x tales que p(x)". Esto es algo así como un axioma formador de clases por la propiedad p(x) que contengan los objetos x.

Otro descubrimiento de Peano fue el hecho de que "ser elemento" de una clase, es decir "pertenecer" a una clase, es algo diferente a "estar incluido o contenido" en una clase. Es decir, estableció la diferencia entre los objetos de una clase y las partes de una clase. Para la indicación de la relación de pertenencia se utiliza hoy día el símbolo "" y para la relación de inclusión el símbolo "".

Otra notación que hoy día seguimos utilizando es la del cuantificador universal, esto es la notación, por ejemplo, de "para todo x, x pertenece a A si p(x)", que hoy día hacemos con el símbolo "". Asimismo, el cuantificador existencial para indicar situaciones como "existe algún x tal que p(x)", que también hoy día simbolizamos con "".

En Italia se constituyó la llamada Escuela de Peano, un grupo de expertos interesados en las bases axiomáticas de la matemática y por el uso adecuado de un lenguaje simbólico para la exposición de los teoremas y argumentaciones. El grupo, encabezado por Peano, llevó adelante la publicación de la revista "Rivista di matematica", a partir de 1891, y la obra "Le formulaire de Mathématiques" entre los años 1895 y 1908.

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